數(shù)學高考函數(shù)方程題及答案
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=2x3-x2+m的圖象上A點處的切線與直線x-y+3=0的夾角為45°，則A點的橫坐標為( )
A.0 B.1 C.0或 D.1或
答案：C 命題立意：本題考查導數(shù)的應用，難度中等.
解題思路：直線x-y+3=0的傾斜角為45°，
切線的傾斜角為0°或90°，由f′(x)=6x2-x=0可得x=0或x=，故選C.
易錯點撥：常見函數(shù)的切線的斜率都是存在的，所以傾斜角不會是90°.
2.設函數(shù)f(x)=則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1，+∞) D.[0，+∞)
答案：D 命題立意：本題考查分段函數(shù)的相關知識，求解時可分為x≤1和x>1兩種情況進行求解，再對所求結果求并集即得最終結果.
解題思路：若x≤1，則21-x≤2，解得0≤x≤1;若x>1，則1-log2 x≤2，解得x>1，綜上可知，x≥0.故選D.
3.函數(shù)y=x-2sin x，x的大致圖象是( )
答案：D 解析思路：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以圖象關于原點對稱，排除A，B.函數(shù)的導數(shù)為f′(x)=1-2cos x，由f′(x)=1-2cos x=0，得cos x=，所以x=.當00，函數(shù)單調遞增，所以當x=時，函數(shù)取得極小值.故選D.
4.已知函數(shù)f(x)滿足：當x≥4時，f(x)=2x;當x<4時，f(x)=f(x+1)，則f=( )
A. B. C.12 D.24
答案：D 命題立意：本題考查指數(shù)式的運算，難度中等.
解題思路：利用指數(shù)式的運算法則求解.因為2+log =2+log2 3(3,4)，所以f=f=f(3+log2 3)=23+log2 3=8×3=24.
5.已知函數(shù)f(x)=若關于x的方程f2(x)-af(x)=0恰好有5個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,3)
答案：
A 解題思路：設t=f(x)，則方程為t2-at=0，解得t=0或t=a，
即f(x)=0或f(x)=a.
如圖，作出函數(shù)的圖象，
由函數(shù)圖象可知，f(x)=0的解有兩個，
故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5個不同的解，則方程f(x)=a的解必有三個，此時0
6.若R上的奇函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，且當0
A.4 020 B.4 022 C.4 024 D.4 026
答案：B 命題立意：本題考查函數(shù)性質的應用及數(shù)形結合思想，考查推理與轉化能力，難度中等.
解題思路：由于函數(shù)圖象關于直線x=1對稱，故有f(-x)=f(2+x)，又函數(shù)為奇函數(shù)，故-f(x)=f(2+x)，從而得-f(x+2)=f(x+4)=f(x)，即函數(shù)以4為周期，據題意其在一個周期內的圖象如圖所示.
又函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)=0，因此f(x)=+f(0)=，因此在區(qū)間(2 010，2 012)內的函數(shù)圖象可由區(qū)間(-2,0)內的圖象向右平移2 012個單位得到，此時兩根關于直線x=2 011對稱，故x1+x2=4 022.
7.已知函數(shù)滿足f(x)=2f，當x[1,3]時，f(x)=ln x，若在區(qū)間內，函數(shù)g(x)=f(x)-ax有三個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案：A 思路點撥：當x∈時，則1<≤3，
f(x)=2f=2ln=-2ln x.
f(x)=
g(x)=f(x)-ax在區(qū)間內有三個不同零點，即函數(shù)y=與y=a的圖象在上有三個不同的交點.
當x∈時，y=-，
y′=<0，
y=-在上遞減，
y∈(0,6ln 3).
當x[1,3]時，y=，
y′=，
y=在[1，e]上遞增，在[e,3]上遞減.
結合圖象，所以y=與y=a的圖象有三個交點時，a的.取值范圍為.
8.若函數(shù)f(x)=loga有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(0,1)(1，)
C.(1，) D.[，+∞)
答案：C 解題思路：設t=x2-ax+，由二次函數(shù)的性質可知，t有最小值t=-a×+=-，根據題意，f(x)有最小值，故必有解得1
9.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
答案：
C 命題立意：本題考查函數(shù)與方程以及數(shù)形結合思想的應用，難度中等.
解題思路：由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m，作出函數(shù)y=f(x)的圖象，當x>0時，f(x)=x2-x=2-≥-，所以要使函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個不同的零點，只需直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個交點即可，如圖.只需-
10.在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意給定的a，bR，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質：
(1)對任意a，bR，a*b=b*a;
(2)對任意aR，a*0=a;
(3)對任意a，bR，(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.
關于函數(shù)f(x)=(3x)*的性質，有如下說法：函數(shù)f(x)的最小值為3;函數(shù)f(x)為奇函數(shù);函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為，.其中所有正確說法的個數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：B 解題思路：f(x)=f(x)*0=*0=0]3x×+[(3x)*0]+)-2×0=3x×+3x+=3x++1.
當x=-1時，f(x)<0，故錯誤;因為f(-x)=-3x-+1≠-f(x)，所以錯誤;令f′(x)=3->0，得x>或x<-，因此函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為，，即正確.
二、填空題
11.已知f(x)=若f[f(0)]=4a，則實數(shù)a=________.
答案：2 命題立意：本題考查了分段函數(shù)及復合函數(shù)的相關知識，對復合函數(shù)求解時，要從內到外逐步運算求解.
解題思路：因為f(0)=2，f(2)=4+2a，所以4+2a=4a，解得a=2.
12.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，在(-∞，0)上有2xf′(2x)+f(2x)<0且f(-2)=0，則不等式xf(2x)<0的解集為________.
答案：(-1,0)(0,1) 命題立意：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的應用，難度中等.
解題思路：[xf(2x)]′=2xf′(2x)+f(2x)<0，故函數(shù)F(x)=xf(2x)在區(qū)間(-∞，0)上為減函數(shù)，又由f(x)為奇函數(shù)可得F(x)=xf(2x)為偶函數(shù)，且F(-1)=F(1)=0，故xf(2x)<0F(x)<0，當x<0時，由單調性可得不等式的解集為(-1,0);同理可得當x>0時，不等式解集為(0,1)，故原不等式解集為(-1,0)(0,1).
13.函數(shù)f(x)=|x-1|+2cos πx(-2≤x≤4)的所有零點之和為________.
答案：6 命題立意：本題考查數(shù)形結合及函數(shù)與方程思想的應用，充分利用已知函數(shù)的對稱性是解答本題的關鍵，難度中等.
解題思路：由于函數(shù)f(x)=|x-1|+2cos πx的零點等價于函數(shù)g(x)=-|x-1|，h(x)=2cos πx的圖象在區(qū)間[-2,4]內交點的橫坐標.由于兩函數(shù)圖象均關于直線x=1對稱，且函數(shù)h(x)=2cos πx的周期為2，結合圖象可知兩函數(shù)圖象在一個周期內有2個交點且關于直線x=1對稱，故其在三個周期[-2,4]內所有零點之和為3×2=6.
14.已知函數(shù)f(x)=ln ，若f(a)+f(b)=0，且0
答案： 命題立意：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的運算，函數(shù)的值域，考查運算求解能力，難度中等.
解題思路：由題意可知，ln +ln =0，
即ln=0，從而×=1，
化簡得a+b=1，
故ab=a(1-a)=-a2+a=-2+，
又0
故0<-2+<.
B組
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