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函數(shù)單調(diào)性說課
一、教學內(nèi)容的分析和教材定位
1.教材的地位和作用
。1)中學生對于函數(shù)單調(diào)性的學習共分為三個階段,第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識;第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義,從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念;第三階段則是在高二利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性。高一單調(diào)性的學習,既是初中學習的延續(xù)和深化,又為高二的學習奠定基礎.
。2) 函數(shù)的單調(diào)性是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個函數(shù)性質(zhì),也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念。函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣,都是研究自變量變化時,函數(shù)值的變化規(guī)律;學生對于這些概念的認識,都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段,即都從圖象觀察,以函數(shù)解析式為依據(jù),經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言,用定量分析解釋定性結(jié)果的過程。因此,函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)。
。3)函數(shù)的單調(diào)性是學習不等式、極限、導數(shù)等其它數(shù)學知識的重要基礎,是解決數(shù)學問題的常用工具,也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材。
2.教學的重點和難點
對于函數(shù)的單調(diào)性,學生的認知困難主要在兩個方面:
首先,要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降,把對單調(diào)性直觀感性的認識上升到理性的高度, 這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生來說比較困難。
其次,單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)學習中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。
根據(jù)以上的分析和教學大綱對單調(diào)性的教學要求,本節(jié)課的教學重點是函數(shù)單調(diào)性的概念,判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性;難點是引導學生歸納并抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性。
二、教學目標
1.使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.
2.通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學生的推理論證能力.
3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣;讓學生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認知過程.
三、教學方法和手段
1.教學方法
本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,主要采取教師啟發(fā)講授,學生探究學習的教學方法。教學過程中,根據(jù)教材提供的線索,安排適當?shù)慕虒W情境,讓學生展示相應的數(shù)學思維過程,使學生有機會經(jīng)歷數(shù)學概念抽象的各個階段,引導學生獨立自主地開展思維活動,深入探究,從而創(chuàng)造性地解決問題,最終形成概念,獲得方法,培養(yǎng)能力。
2.教學手段
教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學.目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的理解和認識
四,教學過程
。ㄒ唬﹦(chuàng)設情境,引入課題
1。教師畫幾個增減和波動的圖象。
2。讓學生大體根據(jù)自己的身高隨年齡的增長列一表格,然后畫一簡圖。提出問題
圖象的變化趨勢,怎樣用數(shù)學符號表示和不等式表示。
。ǘw納探索,形成概念
1.借助圖象,直觀感知
本環(huán)節(jié)的教學主要是從學生的已有認知出發(fā),即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象和事例直觀感知函數(shù)的單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識。
在本環(huán)節(jié)的教學中,我主要設計了兩個問題:
問題1:分別作出函數(shù)的圖象,并且觀察自變量變化時,函數(shù)值有什么變化規(guī)律?
在學生畫圖的基礎上,引導學生觀察圖象,獲得信息:第一個圖象從左向右逐漸上升,y隨x的增大而增大;第二個圖象從左向右逐漸下降,y隨x的增大而減小。然后讓學生明確,對于自變量變化時,函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù),我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù)。
而后兩個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明,通過實例明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì).
對于概念教學,若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性,則能更好的理解和掌握概念,因此我設計了問題2。
問題2:能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?
教學中,我引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義:
如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升,或者如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù).
然后讓學生類比描述減函數(shù)的定義。至此,學生對函數(shù)單調(diào)性就有了一個直觀、描述性的認識.
2.探究規(guī)律,理性認識
在此環(huán)節(jié)中,我設計了兩個問題,通過對兩個問題的研究、交流、討論,將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式,使學生對單調(diào)性的認識由感性認識上升到理性認識的高度,使學生完成對概念的第二次認識.
問題1:右圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?
對于問題1,學生的困難是難以確定分界點的確切位置.通過討論,使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性,從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式。
問題2:如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)?
在前邊的鋪墊下,問題2是形成單調(diào)性概念的關鍵。在教學中,我組織學生先分組探究,然后全班交流,相互補充,并及時對學生的發(fā)言進行反饋,評價,對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論,在辨析中達成共識。
對于問題2,學生錯誤的回答主要有兩種:
。1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如1和2,因為,所以在上為增函數(shù).
。2)仿(1),取很多組驗證均滿足,所以在上為增函數(shù).
對于這兩種錯誤,我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析。引導學生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉。在充分討論的基礎上,引導學生從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小,從而得到正確的回答:
任意取,有,即,所以在為增函數(shù).
這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì),也讓學生領悟到兩點:(1)兩自變量的取值具有任意性;(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。事實上,這種回答也給出了證明單調(diào)性的方法,為后續(xù)用定義證明其他函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊,降低難度。至此,學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識。
3.抽象思維,形成概念
本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎上,引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義,使學生經(jīng)歷從特殊到一般,從具體到抽象的認知過程,完成對概念的第三次認識。
教學中,我引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義,并讓學生類比得到減函數(shù)的定義。然后我指導學生認真閱讀教材中有關單調(diào)性的概念,對定義中關鍵的地方進行強
。ㄈ┱莆兆C法,適當延展
本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結(jié),使學生初步掌握根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,同時引導學生探究定義的等價形式,對證明方法做適當延展。
例 證明函數(shù)在上是增函數(shù).
在引入導數(shù)后,用定義證明單調(diào)性的作用已經(jīng)有所降低,我選擇一個較難的例子,主要是考慮讓學生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認識。
證明過程的教學分為三個環(huán)節(jié):難點突破、詳細板書、歸納步驟。
1.難點突破
對于函數(shù)單調(diào)性的證明,由于前邊有對函數(shù)在上為增函數(shù)的研究作鋪墊, 大部分學生能完成取值和求差兩個步驟:
證明:因此學生的難點主要是兩個函數(shù)值求差后的變形方向以及變形的程度。問題主要集中在兩個方面:一方面部分學生不知道如何變形,不敢動筆;另一方面部分學生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結(jié)論。
針對這兩方面的問題,教學中,我組織學生討論,引導學生回顧函數(shù)在上為增函數(shù)的說明過程,明確變形的主要思路是因式分解。然后我引導學生從已有的認知出發(fā),考慮分組分解法,即把形式相同的項分在一起,變形后容易找到公因式,提取后即可考慮判斷符號。
2.詳細板書
在上面分析的基礎上,我對證明過程進行規(guī)范、完整的板書,引導學生注意證明過程的規(guī)范性和嚴謹性,幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣。
3.歸納步驟
在板書的基礎上,我引導學生歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟(設元,求差,變形,斷號,定論)。通過對證明過程的分析,使學生明確每一步的必要性和目的,特別是第三步,讓學生明確變形的方法以及變形的程度,幫助學生掌握方法,提高學生的推理論證能力.
為了鞏固用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,強化解題步驟,形成并提高解題能力,設計適當課堂練習。
。ㄋ模w納小結(jié),提高認識
本階段通過學習小結(jié)進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法的一般規(guī)律,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎.
1.學習小結(jié)
在知識層面上,引導學生回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過程,使學生對單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認識,體會到數(shù)學概念形成的主要三個階段:直觀感受、文字描述和嚴格定義。
在方法層面上,首先引導學生回顧判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟;然后引導學生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法,如數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化,類比等,重點強調(diào)用符號語言來刻畫圖形語言,用定量分析來解釋定性結(jié)果;同時對學習過程作必要的反思,為后續(xù)的學習做好鋪墊。
2.布置作業(yè)
在布置書面作業(yè)的同時,為了尊重學生的個體差異,滿足學生多樣化的學習需要,設計了探究作業(yè)供學有余力的同學課后完成。
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