函數(shù)單調(diào)性說課

　　一、教學內(nèi)容的分析和教材定位

　　1．教材的地位和作用

　�。�1）中學生對于函數(shù)單調(diào)性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高二利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性。高一單調(diào)性的學習，既是初中學習的延續(xù)和深化，又為高二的學習奠定基礎．

　�。�2） 函數(shù)的單調(diào)性是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念。函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律；學生對于這些概念的認識，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程。因此，函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)。

　�。�3）函數(shù)的單調(diào)性是學習不等式、極限、導數(shù)等其它數(shù)學知識的重要基礎，是解決數(shù)學問題的常用工具，也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材。

　　2．教學的重點和難點

　　對于函數(shù)的單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：

　　首先，要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，把對單調(diào)性直觀感性的認識上升到理性的高度， 這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生來說比較困難。

　　其次，單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)學習中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。

　　根據(jù)以上的分析和教學大綱對單調(diào)性的教學要求，本節(jié)課的教學重點是函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性；難點是引導學生歸納并抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

　　二、教學目標

　　1．使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

　　2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力．

　　3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；讓學生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

　　三、教學方法和手段

　　1．教學方法

　　本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平，主要采取教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法。教學過程中，根據(jù)教材提供的線索，安排適當?shù)慕虒W情境，讓學生展示相應的數(shù)學思維過程，使學生有機會經(jīng)歷數(shù)學概念抽象的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而創(chuàng)造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養(yǎng)能力。

　　2．教學手段

　　教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學．目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識

　　四，教學過程

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設情境，引入課題

　　1。教師畫幾個增減和波動的圖象。

　　2。讓學生大體根據(jù)自己的身高隨年齡的增長列一表格，然后畫一簡圖。提出問題

　　圖象的變化趨勢，怎樣用數(shù)學符號表示和不等式表示。

　�。ǘ�）歸納探索，形成概念

　　1．借助圖象，直觀感知

　　本環(huán)節(jié)的教學主要是從學生的已有認知出發(fā)，即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象和事例直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識。

　　在本環(huán)節(jié)的教學中，我主要設計了兩個問題：

　　問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？

　　在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù)。

　　而后兩個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過實例明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

　　對于概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好的理解和掌握概念，因此我設計了問題2。

　　問題2：能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)？

　　教學中，我引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義：

　　如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

　　然后讓學生類比描述減函數(shù)的定義。至此，學生對函數(shù)單調(diào)性就有了一個直觀、描述性的認識．

　　2．探究規(guī)律，理性認識

　　在此環(huán)節(jié)中，我設計了兩個問題，通過對兩個問題的研究、交流、討論，將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式，使學生對單調(diào)性的認識由感性認識上升到理性認識的高度，使學生完成對概念的第二次認識．

　　問題1：右圖是函數(shù)的圖象，能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？

　　對于問題1，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究，使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式。

　　問題2：如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)？

　　在前邊的鋪墊下，問題2是形成單調(diào)性概念的關鍵。在教學中，我組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋，評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論，在辨析中達成共識。

　　對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

　�。�1）在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為，所以在上為增函數(shù)．

　�。�2）仿（1），取很多組驗證均滿足，所以在上為增函數(shù)．

　　對于這兩種錯誤，我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析。引導學生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉。在充分討論的基礎上，引導學生從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量，然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答：

　　任意取，有，即，所以在為增函數(shù)．

　　這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學生領悟到兩點：（1）兩自變量的取值具有任意性；（2）求差比較它們函數(shù)值的大小。事實上，這種回答也給出了證明單調(diào)性的方法，為后續(xù)用定義證明其他函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊，降低難度。至此，學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識。

　　3．抽象思維，形成概念

　　本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程，完成對概念的第三次認識。

　　教學中，我引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學生類比得到減函數(shù)的定義。然后我指導學生認真閱讀教材中有關單調(diào)性的概念，對定義中關鍵的地方進行強

　�。ㄈ�）掌握證法，適當延展

　　本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結(jié)，使學生初步掌握根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，同時引導學生探究定義的等價形式，對證明方法做適當延展。

　　例 證明函數(shù)在上是增函數(shù)．

　　在引入導數(shù)后，用定義證明單調(diào)性的作用已經(jīng)有所降低，我選擇一個較難的例子，主要是考慮讓學生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認識。

　　證明過程的教學分為三個環(huán)節(jié)：難點突破、詳細板書、歸納步驟。

　　1．難點突破

　　對于函數(shù)單調(diào)性的證明，由于前邊有對函數(shù)在上為增函數(shù)的研究作鋪墊， 大部分學生能完成取值和求差兩個步驟：

　　證明：因此學生的難點主要是兩個函數(shù)值求差后的變形方向以及變形的程度。問題主要集中在兩個方面：一方面部分學生不知道如何變形，不敢動筆；另一方面部分學生在變形不徹底，理由不充分的情形下就下結(jié)論。

　　針對這兩方面的問題，教學中，我組織學生討論，引導學生回顧函數(shù)在上為增函數(shù)的說明過程，明確變形的主要思路是因式分解。然后我引導學生從已有的認知出發(fā)，考慮分組分解法，即把形式相同的項分在一起，變形后容易找到公因式，提取后即可考慮判斷符號。

　　2．詳細板書

　　在上面分析的基礎上，我對證明過程進行規(guī)范、完整的板書，引導學生注意證明過程的規(guī)范性和嚴謹性，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣。

　　3．歸納步驟

　　在板書的基礎上，我引導學生歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟（設元，求差，變形，斷號，定論）。通過對證明過程的分析，使學生明確每一步的必要性和目的，特別是第三步，讓學生明確變形的方法以及變形的程度，幫助學生掌握方法，提高學生的推理論證能力．

　　為了鞏固用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，強化解題步驟，形成并提高解題能力，設計適當課堂練習。

　�。ㄋ模�歸納小結(jié)，提高認識

　　本階段通過學習小結(jié)進行課堂教學的反饋，組織和指導學生歸納知識、技能、方法的一般規(guī)律，深化對數(shù)學思想方法的認識，為后續(xù)學習打好基礎．

　　1．學習小結(jié)

　　在知識層面上，引導學生回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過程，使學生對單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認識，體會到數(shù)學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義。

　　在方法層面上，首先引導學生回顧判斷，證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟；然后引導學生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等，重點強調(diào)用符號語言來刻畫圖形語言，用定量分析來解釋定性結(jié)果；同時對學習過程作必要的反思，為后續(xù)的學習做好鋪墊。

　　2．布置作業(yè)

　　在布置書面作業(yè)的同時，為了尊重學生的個體差異，滿足學生多樣化的學習需要，設計了探究作業(yè)供學有余力的同學課后完成。

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